Многочлен – это просто сумма нескольких мономов. В обычных обозначениях это минимум от каждого Мi.
Степень монома определяется естественным образом – сумма степеней всех входящих сюда переменных. Степенно многочлена – это степень максимального монома в нем.

Что здесь становится необычным по сравнению с классическими многочленами – это определение понятия корня многочлена. Точка А является корнем, если при подстановке ее в это выражение минимум достигается хотя бы на двух разных мономах (либо равен бесконечности).

Рассмотрим пример. (Умножение на ноль в данном случае имеет смысл, потому что знак умножения здесь – на самом деле сложение.) Давайте попробуем понять, какие у этого многочлена корни. Нам нужно, чтобы минимум достигался на двух разных мономах. Можно поподбирать и понять, что корни здесь -2 и 1.

Рассмотрим еще один пример. Здесь уже есть три переменных, и многочлен на самом деле линеен. Слева записан в мин-плюс терминах, справа – в обычных терминах. Многочлен линейный, то есть каждый моном в нем линейный, у него уже корней больше. Нужно заметить, что есть такой особенный корень (-1, -2, 1), в котором совпадают все три монома. И из него можно изготовить уже много других, а именно если к любой координате что-нибудь прибавить, то видно, что это все равно будет оставаться корнем. Ну и еще полезно заметить, что в данном случае если у нас есть какой-то корень и мы ко всем координатам прибавим одно и то же число, то это все равно останется корнем.

Наряду с такими тропическими многочленами можно рассматривать еще мин-плюс многочлены. Это вот такое равенство: слева и справа стоят суммы мономов, и степенно определяется так же, и корень определяется самым обычным образом. Точка А является корнем, если левая и правая части равны. Такой способ оправдан тем, что в мин-плюс кольце нет вычитания, поэтому разумно посмотреть на равенство многочлена нулю как на двустороннее равенство, где часть мономов слева, часть мономов справа.